Probabilité conditionnelle

Définition - Notation

Soit $A$ et $B$  deux événements d'un même univers tels que $P(A)\ne 0$ .

La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $A$ est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ .

On la note $P_A(B)$ .

Propriété

Soit $A$ et $B$  deux événements d'un même univers tels que $P(A)\ne 0$ . On a :

                                                         $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$ .

Remarque

Calculer une probabilité conditionnelle revient à calculer une probabilité simple dans un nouvel univers : pour le calcul de $P_A(B)$ ,  $A$ devient le nouvel univers.

 Exemple  

Dans une classe de première de 30 élèves, il y a 18 filles et 12 garçons. Parmi les 18 filles, 10 suivent la spécialité mathématiques. On choisit au hasard un élève de cette classe, et on note $A$ l'événement : « L'élève choisi est une fille » et $B$ l'événement : « L'élève suit la spécialité mathématiques ». 

Pour calculer  $P_A(B)$ , on se place dans l'univers constitué des 18 filles. Parmi les 18 filles, 10 suivent la spécialité mathématiques donc  $P_A(B)={\displaystyle \frac{10}{18}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$ .

On retrouve ce résultat en calculant  ${\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$  :

$A\cap B$  est l'événement : « L'élève choisi est une fille qui suit la spécialité mathématiques ».

Parmi les 30 élèves de la classe, 10 sont des filles qui suivent la spécialité mathématiques donc  $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{10}{30}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ .

Parmi les 30 élèves de cette classe, il y a 18 filles donc  $P(A)={\displaystyle \frac{18}{30}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ .

On en déduit donc que  ${\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$   et donc  $P_A(B)={\displaystyle \frac{5}{9}}$ . 

La propriété suivante se déduit immédiatement de la propriété précédente.

Propriété

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers tels que $P(A)\ne 0$ . On a :                          

                                               $P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)$ .

Exemple

Une urne contient des boules indiscernables au toucher. On sait que :

• 20 % des boules portent le n° 1 ;
  
• le quart des boules portant le n° 1 sont rouges.
  

On tire au hasard une boule de l'urne et on considère les événements suivants :

• $A$ : « La boule porte le n° 1 » ;
  
• $B$ : « La boule est rouge ».

Traduisons les données de l'énoncé en terme de probabilités : 

• 20 % des boules portent le n° 1, ce qui signifie que   $P(A)=0,2$ .
  
• Le quart des boules portant le n° 1 sont rouges, ce qui signifie que   $P_A(B)={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$ .
  

On peut en déduire la  probabilité que la boule porte le n° 1 et soit rouge :

$P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)=0,25\times 0,2=0,05$ .

La probabilité que la boule porte le n° 1 et soit rouge est donc égale à  $0,05$ .